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MATRICES

Se denomina matriz a todo conjunto de números y expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Las matrices pueden sumarse, restarse,multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave del campo del álgebra lineal.

╩ ELEMENTO DE UNA MATRIZ:

Cada uno de los números o expresiones de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenecen.

╩DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ:

El número de filas y columnas se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz de m filas y n columnas.

╩TIPOS DE MATRICES:

A) MATRIZ FILA: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

B) MATRIZ COLUMNA: La matriz columna tiene una sola columna.

C) MATRIZ RECTANGULAR: La matriz rectangular tiene distinto números de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

D)MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que  se obtiene cambiando el número de filas por columnas.

E) MATRIZ NULA: En una matriz nula todos los elementos son ceros.

F) MATRIZ CUADRADA: La matriz cuadrada tiene el mismo números de filas que de columnas. Los elementos de la forma Aii constituyen la diagonal principal, La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

G) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

H) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

I) MATRIZ DIAGONAL: En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

J) MATRIZ ESCALAR: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

K) MATRIS IDENTIDAD: Todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

L) MATRIZ REGULAR: Es una matriz cuadrada que tiene inversa.

M) MATRIZ SINGULAR: Es una matriz cuadrada que no tiene inversa.

N) MATRIZ IDEMPOTENTE: Una matriz A, es idempotente si: A² = A.

Ñ) MATRIZ INVOLUTIVA: Una matriz A, es involutiva si:  A² = I.

O) MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica que: : A = A^t.

P) MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Una matriz antisimétrica, es una matriz cuadrada que: A = −A^t.

╩ OPERACIONES CON MATRICES:

◄SUMA DE MATRICES:

Dados dos matrices de la misma dimensión, A=(Aij) y B=(Bij), se define la matriz suma como:

A + B = (Aij + Bij)

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición, es decir; en la misma fila y columna.

◄ PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ:

Dado una matriz A = (Aij) y un número real (escalar) K que pertenece a R, se define el producto de un escalar por una matriz; a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado por K.

K x A = ( K x Aij )

◄MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:

Dos matrices A y B, se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Amxn   .   Bnxp   =   Cnxp

El elemento Cij de la matriz de obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

◄ INVERSA DE UNA MATRIZ:

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtendremos la matriz identidad.

A · A⁻¹  = A⁻¹ · A = I

A CONTINUACIÓN LES MOSTRARÉ 4 EJERCICIOS DE MATRICES, QUE SON RESUELTAS POR EL PROGRAMA DEV-C++ :

                                     [ 8 1 3 ]

1) DADA LA MATRIZ A =  [ 2 4 6 ]  , IMPRIMIRLAS EN DEV-C++

                                     [ 5 7 9 ]

SOLUCIÓN:

COMPILANDO ...

                                [ 0 4 5 ]               [ 9 8 7 ]

2) DADA LAS MATRICES: A  =  [ 1 2 3 ]   Y   B  =  [ 4 5 6 ]; HALLAR  "M", SI: A + B = M

                                            [ 0 0 7 ]                [ 3 0 1 ]

SOLUCIÓN:

                  [ 0 4 5 ]           [ 9 8 7 ]             [ 9 12 12 ]

A  +  B   =   [ 1 2 3 ]    +     [ 4 5 6 ]     =      [ 5   7   9 ]

                  [ 0 0 7 ]           [ 3 0 1 ]             [ 3   0   8 ]                 

  

COMPILANDO ...

                                                                     [ 0 7 1 ]           [ 23 10 0 ]

3) DADAS LAS MATRICES: DADA LA MATRIZ A = [ 2 3 5 ]; Y B = [ 10 11 4 ]; hallar AxB

                                                                     [ 9 5 8 ]           [ 9  11 5 ]

SOLUCIÓN:

                [ 0 7 1 ]        [ 23 10 0 ]              [  79   88   33  ]

A  x  B  =  [ 2 3 5 ]    x   [ 10 11 4 ]     =       [ 121  108  37 ]

                [ 9 5 8 ]        [ 9  11 5 ]               [ 329  233  60 ]

COMPILANDO ...

                                                           [ 10 1 5 ]

4) DADA LA MATRIZ DE ORDEN 3X3: A = [ 12 5 8 ]; HALLAR  |A|

                                                           [ 9  1 4  ]

SOLUCIÓN:

               [ 10 1 5 ]

Si :  A  =  [ 12 5 8 ]       ===>  | A |  =  10.5.4 + 1.8.9 + 12.5.1 - (9.5.5 +12.1.4 + 1.8.10)

               [ 9  1 4  ]                | A |  =  200 + 72 + 60 - 225 - 48 - 80

                                              | A |  =  -21

COMPILANDO ...

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LECTURA E IMPRESIÓN DE MATRIZ                                                MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ